La forme en -te en fin de phrase (adjectifs et verbes)

Bonjour,

J'écris ici car j'ai des difficultés à comprendre l'utilisation de la forme en -te lorsqu'elle ne sert pas à connecter plusieurs verbes d'une série d'action, et qu'elle se retrouve donc en fin de phrase.

J'ai déjà entendu "demo aitakute" (essentiellement à l'oral, mais si on peut le trouver à l'écrit, j'aimerais qu'on me l'indique), et si je devais le traduire, je le traduirai par "mais je voulais tellement te voir que...", mais je me trompe peut-être.
Je me dis que si la personne avait voulu dire "mais je voulais te voir", elle aurait dit "demo aitakatta", donc je m'interroge vraiment sur la nécessite de dire "demo aitakute". Est-ce que c'est pour sous-entendre qu'il devait y avoir une suite à cette phrase (par exemple : "demo aitakute shikata ga nakatta") ?

Aussi, il y a une phrase du même genre que je ne comprends pas.
C'est "aitakute namida ga afureru yo". Je ne sais pas si elle se traduit par "je veux te voir ET les larmes affluent" ou bien si il y a implicitement un rapport de causalité, du style les larmes affluent CAR il/elle veut le/la voir?

En temps normal, la forme en -te peut-elle signifier un rapport de causalité ?
Je ne trouve plus la leçon dans mon livre, je crois qu'on peut faire ce rapport avec les adjectifs.

Par exemple : "kono KEEKI ga oishikute, zenbu tabeta" : ce gâteau était tellement bon que j'ai tout mangé

Si je me trompe n'hésitez pas à me corriger.

Merci d'avance!